演習06【ねじり問題】

演習 材料力学

問題

問1

壁に固定された丸棒に、ねじり荷重を加えます。

このとき、丸棒に発生するねじり応力の最大値を求めてください。

ここで、TB=3Nm、TC=4Nm、L1=300mm、L2=400mmとします。

また丸棒はd=30mmの中実軸とし、極断面係数は以下の式で計算できるとします。

$$Z_p=\frac{\pi d^3}{16}$$

答え

問2

壁に固定された丸棒に、ねじり荷重を加えます。

このとき、A・Cに発生するねじり荷重TA、TCを求めてください。

答え

答え

問1

ねじり荷重の問題に限らず、材料力学の問題を解く上での基本は、以下の3ステップです。

  1. 荷重の釣り合いを考える。
  2. 仮想的に切り離す。
  3. 内力を求める。

まずは釣り合いの式を立てます。

壁に固定されておりますので、丸棒は壁から反力を受けます。壁から受ける反力をTAとしてモデルを書き直すと、下記のとおりとなります。

$$\begin{align} &T_A-T_B-T_C=0\\ &T_A=T_B+T_C\cdots(1) \end{align}$$

では続いて、丸棒を仮想的に切り離し、内力を求めていきます。

まずはAB間で仮想的に切り離し、方程式を立てます。

$$\begin{align} &T_A-T=0\\ &T=T_A=T_B+T_C\cdots(2) \end{align}$$

よって、AB間で発生するねじり応力の最大値は、

$$\begin{align} \tau_{AB}&=\frac{T}{Z_P}\\ &=\frac{16(T_B+T_C)}{\pi d^3}\cdots(3) \end{align}$$

ポイント

$$\tau=\frac{T}{Z_p}$$

τ:ねじり応力

T:トルク

Zp:極断面係数

続いて、BC間で仮想的に切り離して考えてみます。

$$\begin{align} &T_A-T_B-T=0\\ T&=T_A-T_B\\ &=T_B+T_C-T_B\\ &=T_C\cdots(4) \end{align}$$

よって、BC間で発生するねじり応力の最大値は、

$$\begin{align} \tau_{BC}&=\frac{T}{Z_P}\\ &=\frac{16T_C}{\pi d^3}\cdots(5) \end{align}$$

ここで、(3)式と(5)式を比べてみますと、どの数値も正の値なので、区間ABで発生するτABの方が値が大きいことがわかります。

そして、τABの各文字部に、それぞれ値を代入して計算をします。

$$\begin{align} \tau_{AB}&=\frac{16(T_B+T_C)}{\pi d^3}\\ &=\frac{16(3Nm+4Nm)\times10^3}{\pi (30mm)^3}\\ &\simeq 1.32 N/mm^2 \end{align}$$

これが答えです。

問2

まずは基本に忠実に、釣り合いの式を立てていきます。

棒は壁から反力を受けるため、Aで受ける反力をTA、Cで受ける反力をTCとすると、釣り合いの式は以下のとおりとなります。

$$T_A+T_B+T_C=0\cdots(1)$$

しかし、(1)式には未知数(TA、TC)が2つに対して、式が1つしかなく、このままでは問題を解くことができません。

つまり、この問題は不静定問題です。

不静定問題はどのように解くか?

それは、変形量に着目をして、もう一つの式を立てます。

ねじり荷重の問題における変形量とは、ねじれ角φです。

もし壁Cがなければ、φABのねじれが発生する。

もし壁Aがなければ、φBCのねじれが発生する。

しかし、棒の両端が壁に拘束されていることから、以下の式が成り立ちます。

$$\phi_{AB}+\phi_{BC}=0\cdots(2)$$

ここで、ねじれ角とひずみの関係を使うと、(2)式は以下のようになります。

$$\frac{L_1}{r}\gamma_{AB}+\frac{L_2}{r}\gamma_{BC}=0\\$$

ポイント

$$\gamma=r\frac{\phi}{L}$$

γ:ねじりひずみ

r:棒材の半径

φ:ねじり角

L:棒の長さ

続いて、フックの法則を使うと(3)式は以下のようになります。

$$\frac{L_1}{\tau_{AB}G}+\frac{L_2}{\tau_{BC}G}=0\\ \frac{L_1}{\tau_{AB}}+\frac{L_2}{\tau_{BC}}=0\cdots(4)$$

ポイント

$$\tau=G\gamma$$

τ:ねじり応力

G:横弾性係数

γ:ねじりひずみ

そして、ねじり荷重とねじり応力との関係より、(4)式は以下のようになります。

$$\frac{L_{1}Z_p}{T_{A}}+\frac{L_{2}Z_p}{T_{C}}=0\\ \frac{L_{1}}{T_{A}}+\frac{L_{2}}{T_{C}}=0\cdots(5)$$

ポイント

$$\tau=\frac{T}{Z_P}$$

τ:ねじり応力

T:トルク

Zp:極断面係数

これで2つめの式ができました。よって、(1)式と(5)式を解くことで、答えを求めることができます。

$$\begin{align} \begin{cases} T_A+T_B+T_C=0\cdots(1)\\ \frac{L_{1}}{T_{A}}+\frac{L_{2}}{T_{C}}=0\cdots(5) \end{cases}\\ T_A=T_B\frac{L_1}{L_2-L_1}\\ T_C=-T_B\frac{L_2}{L_2-L_1} \end{align}$$

これが答えとなります。

コメント

タイトルとURLをコピーしました