Q.「ラジアン」とは何か?A.「角度」や「円弧の長さ」を表すもの

数学

世の中にはものの「角度」を表す方法は主に2種類あります。

1つ目は皆さんが義務教育で習う表し方で「度数法」と呼ばれているものです。
単位としたは「度」や「°」を使うものです。

もう1つは「弧度法」と呼ばれているもので、これは高校数学にて登場するもので、単位として「ラジアン」を使うものです。

この「ラジアン」というのは、高校数学で唐突に出てきますが、

日常生活をする上では、ほとんどラジアンが登場することがなく、なかなか馴染めないことが多いと思います。

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実はラジアンには、以下の2つの捉え方があります。

  • 角度
  • 孤の長さ

そこで、ラジアンについて、
日本語としての理解ではなく、
頭の中で理解ができるように、今回は解説をしていきます。

なぜ一周が2πなのか?

ラジアンは一周を2πとして表すものです。

なぜ一周が2πなのか?

それは、円周の長さに由来します。

円周の長さを求める式は、(直径)×(円周率)です。

半径が1の円を考えると、円周は、

$$2\times1\times\pi$$

です。だから「一周=2π」となるのです。

ちなみに、ラジアンと度の変換は以下のとおりです。


$$1[deg]=\frac{2\pi}{360}\\ 1[rad]=\frac{360}{2\pi}$$

角度としてのラジアン

ラジアンはよく、三角関数(sinやcos)で登場するため、こちらの認識を持たれている方が多いと思います。

何故、孤の長さで角度を表せるのか?

それは、半径が1だと決まっているからです。

角度を表すには、直接的に表さなくとも、
図形の形と長さを決めるだけで、その図形が作る角度を「ただ一つに」決めることができます。

例えば孤の長さがxラジアンだとすると、半径が1で孤の長さがxと決まっているので、それを満たすような扇型の中心角は1種類しか存在しません。

また例えば、三角形の1つの角がxラジアンという意味は、

「その角度が、半径が1で孤の長さがxである図形の中心角が作る角度に相当する角度」という意味です。

弧の長さとしてのラジアン

もう一つ、ラジアンの使い方として「弧の長さ」を表すというものがあります。

これは、先ほどの角度の発想とは逆です。
つまり、半径が1の扇型の角度がわかっていれば、孤の長さがわかるということです。

これは、材料力学の梁の問題でも使われる、考え方です。

孤の長さを求めるには、半径×ラジアンで求めることができます。

また、xが微小である時、

$$\sin{x}=x$$

とすることができる。
この考え方は「度」表記ではできません。

半径が1で、角度がπ/2rad(90度)の扇型の孤の長さは、
π/2ではありますが、90ではないのは明らかです。

数学でラジアンがよく使われるのは、度に比べて使い勝手がいいというのもあります。

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