ラプラス変換表

数学 更新:

ラプラス変換とは

ラプラス変換は、よく制御やメカトロニクスの分野で登場するものです。

あるシステムについて、ブラックボックス化している「システムの中身g(t)」を調べるために、「サンプルとなる信号」入力して、それによって出力された信号との関係性から求めるのですが、

時間領域では積分(たたみ込み積分といいます)をする必要があって、非常に面倒くさいです。

そこで、ラプラス変換をすることによって、「積分の部分がただの掛け算になる」というメリットが有り、非常に便利なのです。

ラプラス変換表

ラプラス変換は一応定義があるのですが、それよりも「ラプラス変換表」という表を見ながら変換するのが一般的ですので、以下の表をご参考にしていただければと思います。

時間領域$$f(t)$$ 周波数領域$$F(s)$$
$$\frac{df}{dt}$$ $$sF$$
$$\int{f}dt$$ $$\frac{F}{s}$$
$$af_1+bf_2$$ $$aF_1+bF_1$$
$$\delta(t)$$ $$1$$
$$1$$ $$\frac{1}{s}$$
$$t$$ $$\frac{1}{s^2}$$
$$e^{-at}$$ $$\frac{1}{s+a}$$
$$\sin{at}$$ $$\frac{a}{s^2+a^2}$$
$$\cos{at}$$ $$\frac{s}{s^2+a^2}$$
$$e^{-at}\sin{bt}$$ $$\frac{b}{(s+a)^2+b^2}$$
$$e^{-at}\cos{bt}$$ $$\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}$$
$$t^n e^{-at}$$ $$\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$$
$$\frac{1}{b-a}(e^{-at}-e^{-bt})$$ $$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$$
$$\frac{1}{sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta \omega_n t}\sin{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t}$$ $$\frac{\omega_n}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$

ラプラス変換の定義

ちなみに、ラプラス変換の定義は以下のとおりですが、ぶっちゃけほとんど使わないです・・・

ラプラス変換

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$

逆ラプラス変換

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)e^{st}ds$$


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リヴィ

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機械設計エンジニア: リヴィ

極座標と直交座標の使い道【一言でいうとモンストとパズドラです】

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