【解説】締め付けトルクと軸力の関係式の導出(2)

ねじ

前回、締め付けトルクは、ねじ部と、座面とに分けて考えるということを、お話ししました。

その中でも今回は「ねじ部」に着目をしてお話ししていきます。

一般的なボルトは、ネジ山の形が三角形の形をした三角ネジです。

しかし、いきなり三角ネジの力関係について理解しようとすると、いくつかの三次元の座標系を使ったり、三次元のベクトルを使わなければならず、現象が理解しにくいです。

私自身も何度か挫折した経験があります。

そのためまずは簡単な現象について理解をするため、ネジの形が四角形である四角ネジについて力の関係を導き、その後三角ネジの場合に適用するといった流れで話を進めていこうと思います。

四角ネジのネジ面における力の関係

ボルトの頭と母材とが接触し、ボルトに軸力が発生しているとします。

そこからさらにネジを締め込むには、ネジ山の斜面に沿って力の関係を整理していくと、以下の関係式を得ることができます。

$$F_s cos\beta>F_a sin\beta+\mu_s(F_a cos\beta+F_s sin\beta)\cdots(1)$$

Fs:ネジ部にかかる接線力
β:リード角
Fa:軸力
μs:ネジ部の滑り摩擦係数

ここで摩擦係数を摩擦角で記述します。

$$\mu_s=tan\rho\cdots(2)$$

(2)式を(1)式に代入すると、以下のようになります。

$$\begin{align}
&F_s cos\beta>F_a sin\beta+\mu_s(F_a cos\beta+F_s sin\beta)\cdots(1)\\
&F_s(cos\beta-\mu_ssin\beta)>F_a(sin\beta+\mu_s cos\beta)\\
&F_s(cos\beta-tan\rho sin\beta)>F_a(sin\beta+tan\rho cos\beta)\\
\end{align}$$

ここで、三角関数の関係式を使って、sinとcosで表します。

$$\begin{align}
&F_s(cos\beta-tan\rho sin\beta)>F_a(sin\beta+tan\rho cos\beta)\\
&F_s(cos\beta-\frac{sin\rho}{cos\rho}sin\beta)>F_a(sin\beta+\frac{sin\rho}{cos\rho} cos\beta)\\
&F_s ( cos\rho cos\beta- sin\rho sin\beta)>F_a( cos\rho sin\beta+sin\rho cos\beta) //
\end{align}$$

ポイント

$$\begin{align}&tan\rho=\frac{sin\rho}{cos\rho}\end{align}$$

さらに、三角関数の加法定理を使うと、かなりすっきりとした関係式が得られます。

$$\begin{align}
&F_s( cos\rho cos\beta- sin\rho sin\beta)>F_a( cos\rho sin\beta+sin\rho cos\beta)\\
&F_s cos( \rho+\beta)>F_a sin(\rho+ \beta )\\
&F_s>F_a tan(\rho+ \beta )
\end{align}$$

ポイント

$$\begin{align}cos\rho cos\beta -sin\rho sin\beta=cos(\rho+\beta)\end{align}$$

ちなみに、ボルトが緩む条件についても同様に整理すると、以下の関係式を得ることができます。

$$\begin{align}
&F_s>F_a tan(\rho-\beta )
\end{align}$$

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