【解説】締め付けトルクと軸力の関係式の導出(1)

ねじ

ネジをトルク法によって締め付けるときに、目標とする軸力を決め、その軸力が発生するような締め付けトルク(規定トルク)を逆算する必要があります。

この計算をするためには、以下のような締め付けトルクと軸力の関係式が使われます。ボルトに締め付けトルクがかかっており、力の関係が釣り合っている時、

$$T=F_a(\frac{D_2}{2}\frac{\mu_s}{cos\alpha}+\frac{P}{2\pi}+\mu_w \frac{D_w}{2})$$

T:締め付けトルク
Fa:軸力
D2:ネジの有効径
μs:ネジ面の滑り摩擦係数
α:ネジ山の半角
P:ネジのピッチ
μw:座面の滑り摩擦係数
Dw:等価摩擦直径

となります。
ここで、締め付けトルクTは、以下のようにネジ部とボルト座面とに分解されます。

$$T=T_s+T_w$$

T:締め付けトルク
Ts:ネジの噛み合い部に作用するトルク
Tw:ボルトの座面に作用するトルク

この式は、グーグルで調べればたくさん出てはきますが、ネジの力学は少々難しく、ちゃんと中身や導出まで理解をしている人は少ないです。

もちろん、ネジについて解説された本にあh、この原理について書かれているものもありますが、最初の10ページぐらいを読むのでさえ、内容が難しくなかなか大変です。

そのため、このボルトの軸力と締め付けトルクとの関係について、何回かに分けて、可能な限りわかりやすくお話ししていきます。

今回はこの話の最初ということで、下準備的な話を中心にしていきます。

ネジの有効径とは

有効系とは、ネジ溝の幅と、ネジ山の幅とが同じになるような仮想的な円筒の直径のことを指します。

$$D_2=D-0.6495P$$

D:雄ネジの山の径
P:ピッチ

ネジの噛み合い部に作用する接線力は、この有効径の位置に作用するとして計算を行います。

ボルトを締める=斜面上の物体を押し上げる

ボルトを締めるという動作は、高校物理の問題でよく出てくる「斜面上の物体」を押し上げる動作に相当します。

例えば下の図のように、ナットを固定したまま、下からボルトをねじ込んでいく様子を見れば、同じであることがわかりやすいかと思います。

なお、ネジの斜面の角度のことを「リード角」といい、記号βで表します。

今、ボルトの頭が母材に接し、ボルトに軸力が発生している状況を考えます。この状態からさらにボルトにトルクをかけて、締め付けることを考えます。

ボルトの軸力をFaとすると、ネジ面には以下の図ような力がかかっていることがわかります。

また、ネジ部にかかるトルクTsによって、ネジ部にはFsの接線力が発生するとします。すると、ネジ部には以下の図のような力がかかっていることがわかります。

よって、雄ネジと雌ネジとの滑り摩擦係数をμsとすると、ボルトをさらに締め込むには以下の条件が必要となります。

$$F_s cos\beta>F_a sin\beta+\mu_s(F_a cos\beta+F_s sin\beta)\cdots(1)$$

ボルトを緩める=斜面上の物体を押し下げる

先ほどとは逆に、ボルトを緩めるという動作は、斜面上の物体を押し下げる動作に相当します。

物体を押し上げるよりも、押し下げる方が当然ラクなので、
ボルトにおいても同様に、とある締め付け状態からさらに締め込むよりも、緩める方がラクにできます。

先ほどと同様に、ボルトの頭が母材に接し、ボルトに軸力が発生している状況を考えます。この状態からさらにボルトにトルクをかけて、緩めることを考えます。

軸力を斜面方向に分解した図は、締め付けの場合と同様ですが、ネジ部にかかるトルクTsによって、ネジ部にはFsの接線力が発生するとしますと、ネジ部には以下の図のような力がかかっていることがわかります。

$$F_s cos\beta>-F_a sin\beta+\mu_s(F_a cos\beta-F_s sin\beta)\cdots(2)$$

摩擦角とは

摩擦角とは「斜面上に乗せた物体について、傾斜角を徐々にきつくしていくという実験をした時に、物体が滑り始める時の傾斜角」のことを指します。

摩擦角は、ネジのどこかの角度のことを指している訳ではありません。
摩擦係数は、三角関数でも表すことができる」といった程度に認識してもらえると良いかと思います。

ここでは摩擦角をρとします。すると、摩擦角の定義より次の式が得られます。

$$tan\rho=\frac{A}{B}=\mu_s$$

参考文献

今回の記事では、こちらの書籍を引用しております。
様々な資料の参考文献としてもよく取り上げられている書籍ですので、興味のある方は、ぜひ読んでみてください。

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