材料力学 演習問題 05【曲げ応力】

今回は演習問題です。

曲げ応力の問題は、割と長丁場になりやすいですが、しっかり問題をとく流れを掴んでいただければと思います。

問題

問1

梁の断面に発生する最大の曲げモーメントが4700 Nmである梁があります。

許容応力σ_a=49MPaの丸棒を使用するとすると、丸棒の直径はいくら必要であるかを求めてください。

ただし、丸棒の断面係数は以下の式で求めることができるとします。

$$Z=\frac{\pi d^3}{32}$$

答え

問2

幅がb、高さがhである長方形の断面を持ち、長さがLの片持ち梁があります。この梁の根元から2L/3の位置に、荷重Pを与えた時、梁に発生する最大の曲げ応力を求めてください。

ここで、長方形断面の梁の断面係数は以下の式で求めることができるとします。

$$Z=\frac{b{h}^2}{6}$$

答え

解答

問1

許容応力とは、梁が耐えることができる応力の最大値のことを言います。そのため、以下の式を満たす必要があります。

$${\sigma }_a\ge \frac{M}{Z}$$

右辺は発生応力です。

つまり、許容応力の方が、発生応力よりも大きければ、強度上問題がないということが言えます。

(1)式を整理すると、

$$Z\ge \frac{M}{{\sigma }_a}\cdots (1)$$

また、問題文より

$$Z=\frac{\pi d^3}{32}\cdots (2)$$

(2)式を(1)式に代入し、整理すると、以下のようになります。

$$d^3\ge \frac{32M}{{\sigma }_a\pi }\cdots (3)$$

この(3)式を解けば、答えを求めることができます。値を代入し、計算をしていきます（代入の際には、単位に注意をしてください）。

$$\begin{array}{rl}{d}^3& \ge \frac{32\cdot 4700\cdot {10}^{3}Nmm}{49MPa\pi }\\ & \ge 977\times {10}^3\end{array}>$$

$$\begin{array}{r}>d\ge 99mm\end{array}$$

これが答えとなります。

問2

曲げ応力を求めるには、まず最大曲げモーメントを求める必要があります。

まずモデルを以下のように書き換えます。

では釣り合いの式を立てます。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{R}_A-P=0\\ M_A+\frac{2LP}{3}=0\end{array}\\ R_A=P\cdots (3)\\ M_A=-\frac{2LP}{3}\cdots (4)\end{array}$$

では、梁を仮想的に切り離していきます。ここで、2L/3≦x≦L の区間では、内力が発生しませんので、計算を省略します。

0≦x≦2L/3で、仮想的に切り離すと、以下のようになります。

釣り合いの式を立てると、

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}{R}_A-F=0\\ M_A+Fx-M=0\end{array}\\ & F=R_A=P\\ & M=M_A+Fx=P(x-\frac{2L}{3})\cdots (5)\end{array}$$

曲げモーメントが最大になるのは、x=0、つまり梁の根元の位置です。

（マイナスの符号は「力の大きさ」を示しているのではなく「力の向き」を示しています。そのため、最大曲げモーメントの大小は、符号を抜きにして、値が最も大きい場所となります。）

最大曲げモーメントの値は、

$$M=-\frac{2LP}{3}\cdots (6)$$

次に、断面係数は問題文より、以下の式となります。

$$Z=\frac{b{h}^2}{6}\cdots (7)$$

よって曲げ応力は、(6)式、(7)式より、

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\frac{M}{Z}\\ & =-\frac{2LP}{3}\cdot 6b{h}^2\\ & =-\frac{4LP}{b{h}^2}\end{array}$$

これが答えとなります。

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