演習04【SFD・BMDの問題】

演習 材料力学

今回は演習問題です。

今回の演習で、SFDやBMDの問題を解けるようにしましょう。

問題

以下の問の梁について、SFDおよびBMDを作成してください。

問1

Pは集中荷重とします。

答え

問2

P1、P2は集中荷重とする。

答え

問3

wは分布荷重とする。

答え

答え

基本的な流れは、

  1. 釣り合いの式を立てる
  2. 仮想的に切り離す
  3. 内力を求める

問1

上の図に反力を描き足すと、以下のようになります。

ではまず、釣り合いの式を立てます。


$$\begin{align}
&(上下方向):R_A-P=0\cdots(1)\\
&(左右方向):N_A=0\cdots(2)\\
&(回転方向):M_A+L_0P=0\cdots(3)
\end{align}$$

では次に、梁を仮想的に切り離して考えてみます。

ところで、計算の前に少しイメージしていただきたいのが、

今回の問題では(0≦x≦L0)と、(L0≦x≦L)とで内力の値が変わるということです。

そのため、この2パターンで梁を仮想的に切り離して考えてみます。

ポイント

計算をする前に、荷重の場所の前後で、梁に発生する現象が変わることをイメージしておく

(a) 0≦x≦L0

仮想的に切り離すと以下のようになります(左右方向には外力がかかっていないので、省略します)。

$$
\begin{align}
&(上下):R_A-F=0\cdots(4)\\
&(回転):M_A+F\cdot x-M=0\cdots(5)
\end{align}
$$

では、計算していきます。(1)式と(4)式より、

$$
\begin{align}
\begin{cases}
R_A-P=0\cdots(1)\\
R_A-F=0\cdots(4)\\
\end{cases}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&R_A=P\\
&F=P\cdots(6)
\end{align}
$$

続いて(3)式、(5)式、(6)式より、

$$
\begin{align}
\begin{cases}
M_A+L_0P=0\cdots(3)\\
M_A+F\cdot x-M=0\cdots(5)\\
F=P\cdots(6)
\end{cases}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&M_A=-L_0P\\
&M=Fx-L_0P\cdots(7)
\end{align}
$$

(b) L0≦x≦L

仮想的に切り離すと以下の図のようになります。

&&
\begin{align}
&(上下):R_A–P-F=0\cdots(8)\\
&(回転):M_A+L_0\cdot P+F\cdot x-M=0\cdots(9)
\end{align}
$$

(1)式と(8)式より、せん断の内力は、次のとおりとなります。

&&
\begin{cases}
\begin{align}
R_A-P=0\cdots(1)\\
R_A–P-F=0\cdots(8)
\end{align}
\end{cases}
\\F=0\cdots(10)
$$

続いて、(3)式、(9)式、(10)式より、

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&M_A+L_0P=0\cdots(3)\\
&M_A+L_0\cdot P+F\cdot x-M=0\cdots(9)\\
&F=0\cdots(10)
\end{align}
\end{cases}
\\M=0\cdots(11)
$$

よってSFDは、(6)式と(10)式より、以下のようになります。

また、BMDは、(7)式と(11)式より、以下のようになります。

問2

一見複雑そうに見えても、やることは基本どおりです。

この問題は、両端支持梁ですので、ここに反力を描き足すと、次のようになります。

よって、釣り合いの式は以下のとおりです。

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-P_1-P_2+R_B=0\\
&(回転方向):P_1L_1+P_2L_2-R_BL=0\\
\end{align}
\end{cases}
\\R_B=\frac{1}{L}\cdot(P_1L_1+P_2L_2)\cdots(1)\\
R_A=\frac{1}{L}\cdot(P_1(L-L_1)+P_2(L-L_2))\cdots(2)
$$

では、続いて仮想的に切り離してみるのですが、今回は集中荷重が2箇所ありますので、場合分けは、

  • 0≦x≦L1
  • L1≦x≦L2
  • L2≦x≦L

の3パターンになります。
あとは、各パターンについて、淡々と計算していくだけになります。

(a) 0≦x≦L1

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-F=0\cdots(3)\\
&(回転方向):Fx-M=0\cdots(4)\\
\end{align}
\end{cases}
$$

(2)式、(3)式、(4)式より

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&R_A=\frac{1}{L}\cdot(P_1(L-L_1)+P_2(L-L_2))\cdots(2)\\
&R_A-F=0\cdots(3)\\
&Fx-M=0\cdots(4)\\
\end{align}
\end{cases}
\\ F=\frac{1}{L}\cdot(P_1(L-L_1)+P_2(L-L_2))\cdots(5)\\
M=\frac{x}{L}\cdot(P_1(L-L_1)+P_2(L-L_2))\cdots(6)
$$

(b) L1≦x≦L2

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-P_1-F=0\cdots(7)\\
&(回転方向):P_1L_1+Fx-M=0\cdots(8)\\
\end{align}
\end{cases}
$$

(2)式、(7)式、(8)式より

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&R_A=\frac{1}{L}\cdot(P_1(L-L_1)+P_2(L-L_2))\cdots(2)\\
&R_A-P_1-F=0\cdots(7)\\
&P_1L_1+Fx-M=0\cdots(8)\\
\end{align}
\end{cases}
\\F=\frac{1}{L}\cdot(-P_1L_1+P_2(L-L_2))\cdots(9)\\
M=\frac{x}{L}\cdot(-P_1L_1+P_2(L-L_2))+P_1L_1\cdots(10)
$$

(c) L2≦x≦L

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-P_1-P_2-F=0\cdots(11)\\
&(回転方向):P_1L_1+P_2L_1+Fx-M=0\cdots(12)\\
\end{align}
\end{cases}
$$

(2)式、(11)式、(12)式より

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&R_A=\frac{1}{L}\cdot(P_1(L-L_1)+P_2(L-L_2))\cdots(2)\\
&R_A-P_1-P_2-F=0\cdots(11)\\
&P_1L_1+P_2L_1+Fx-M=0\cdots(12)\\
\end{align}
\end{cases}
\\F=\frac{1}{L}(-P_1L_1-P_2L_2)\cdots(13)\\
M=\frac{x}{L}(-P_1L_1-P_2L_2)+P_1L_1+P_2L_2\cdots(14)
$$

問3

両端支持梁の等分布荷重の問題です。

等分布荷重であることから、集中荷重に置き換えます。

ついでに、反力を描き足すと、以下のとおりとなります。

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-wL_0+R_B=0\\
&(回転方向):wL_0\frac{L_0}{2}-R_BL=0\\
\end{align}
\end{cases}
\\R_B=\frac{wL_0^2}{2L}\cdots(1)\\
R_A=\frac{wL_0}{2}\cdot(1-\frac{L_0}{L})\cdots(2)
$$

では、仮想的に切り離すのですが、今回は

  • 0≦x≦L0
  • L0≦x≦L

の2パターンで場合分けをします。

(a)0≦x≦L0

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-wx-F=0\cdots(3)\\
&(回転方向):wx\frac{x}{2}+Fx-M=0\cdots(4)\\
\end{align}
\end{cases}
$$

ポイント

等分布荷重から集中荷重への置き換えは、仮想的に切り離しをしたら再度置き換え直す

(2)式、(3)式、(4)式より、

$$
\begin{cases}
\begin{align}
R_A=\frac{wL_0}{2}\cdot(1-\frac{L_0}{L})\cdots(2)\\
R_A-wx-F=0\cdots(3)\\
wx\frac{x}{2}+Fx-M=0\cdots(4)\\
\end{align}
\end{cases}
\\F=-wx+\frac{wL_0}{2}\cdot(1-\frac{L_0}{L})\cdots(5)\\
M=-\frac{wx^2}{2}+\frac{wL_0x}{2}\cdot(1-\frac{L_0}{L})\cdots(6)
$$

(b)L0≦x≦L

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&(上下方向):R_A-wL_0-F=0\cdots(7)\\
&(回転方向):wL_0\frac{L_0}{2}+Fx-M=0\cdots(8)\\
\end{align}
\end{cases}
$$

(2)式、(7)式、(8)式より

$$
\begin{cases}
\begin{align}
&R_A=\frac{wL_0}{2}\cdot(1-\frac{L_0}{L})\cdots(2)\\
&R_A-wL_0-F=0\cdots(7)\\
&wL_0\frac{L_0}{2}+Fx-M=0\cdots(8)
\end{align}
\end{cases}
\\F=-\frac{wL_0}{2}\cdot(1+\frac{L_0}{L})\cdots(9)\\
M=wL_0\frac{L_0}{2}+\frac{wL_0x}{2}\cdot(1-\frac{L_0}{L})-wLx\cdots(10)
$$

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