曲げ荷重によるひずみ方は、中立面からの距離に依存する

材料力学

今回は、曲げ応力の求め方について、お話を進めていきます。

曲げ応力は、梁の中立軸、および中立面を土台にして考えていきます。

この土台から、曲げ応力へどのように展開をしていくのか?

それは「材料の変形量」に注目をして、お話をしていきます。

この変形量から求めていく方法は、引張の不静定問題や、熱応力でもやったようなやり方ですね。

なおここでは、問題を簡略化することで、可能な限りわかりやすく説明している反面、厳密性が低くなりますことをご了承ください。

それでは、曲げ応力の求め方について、少しずつ話を進めていきます。

中立面の長さを表す

中立面とは、材料に発生する内力が0の面のことです。

ここで、材料力学の基本的な考え方を思い出してください。

材料は塑性変形をしない限り、荷重を受ければ変形します。
裏を返せば、材料は荷重を受けていなければ、変形しません。

この原理を利用します。

例えば、以下のような長さがLの両端支持梁について考えます(片側が移動支持のため、軸力は考慮しません)。

この梁の中央に集中荷重を与えます。

ではまず、緑色の線の長さを求めてみましょう。

まず、変形前の梁の長さより、緑の線の長さはLです。

次に変形後の梁に着目します。

ここで、この変形した梁は、円弧状に変形するという仮定をします。
すると、緑色の円弧は、その半径rと、角度θの掛け算で表現することができます(ここでいう角度はラジアンです)。

ちなみに、中立面はその定義の通り、変形量、およびひずみは0です。


$$L=r\theta\cdots(1)
$$

中立面以外の変形量・ひずみ

では次に、この中立面から少し離れたところの変形量・びずみについて注目します。

中立面に垂直な座標軸をy軸とし、中立面の位置をy=0とします。
そして、そこからyだけ離れた赤い線の長さを求めてみます。

赤い線もまた円弧であるため、半径×角度で求めることができます。

半径はrからyだけ離れているので「r+y」
角度は中立面と同じで「θ」ですので、

$$(r+y)\theta$$

となります。

ところで、赤い線は中立面ではありませんので、変形・ひずみが発生します。

ひずみは、(「変形後の長さ」–「元の長さ」)/「元の長さ」で求まりますから、(1)式と合わせて、

$$\begin{align}
\varepsilon&=\frac{(r+y)\theta-r\theta}{r\theta}\\
&=\frac{y}{r}
\end{align}$$

となります。

ここで、このひずみは「垂直ひずみ」ですから、フックの法則が成り立ちます。

$$\begin{align}
\sigma=E\varepsilon=E\frac{y}{r}\cdots(2)
\end{align}$$

となります。

Eやrは一定の値であるため、
材料に発生する応力の大きさは、中立面からの距離に依存するという意味になります。

下の図は、さまざまな梁の断面形状を表していますが、同じ色の場所ならどこの点でも応力は同じです。

さまざまな梁の断面

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