曲げ応力の導出と計算式を解説【断面係数が必要】

今回は、曲げ応力の式の導出についてお話しします。

曲げ応力とはどのような応力のことかを知りたい方は、こちらの記事を参考にしてみてください

曲げ応力の計算式

まず、梁を曲げたときに生じる「ひずみ」を、「曲率」と「フックの法則」を使うことで、以下の式が導出されます。

$$\sigma = E \frac{y}{r} \cdots(1)$$

この式の導出について、詳しくは以下の記事で解説しておりますので、よかったら参考にしてみてください。

続いて「曲率半径」を、「モーメント荷重」や「断面二次モーメント」を使うことによって、以下のように表すことができます。

$$\frac{1}{r}=\frac{M}{EI}\cdots(2)$$

この式の導出について、詳しくは以下の記事で解説しておりますので、よかったら参考にしてみてください。

では、(2)式を(1)式に代入してみますと、以下のようになります。

$$\sigma = \frac{My}{I} \dots(3)$$

材料はσが最大のところが最も壊れやすいので、σが最大になる場所について考えます。

σが最大になるのは梁の中立面(中立軸)から最も離れた位置、つまりyが最大の位置ですが、これは梁の断面形状によって異なります。

例えば、

• 梁の断面が高さがhの長方形の場合は、y=h/2
  
• 直径がdの丸棒の場合は、y=d/2
  
• 梁の高さがhである三角形の断面の場合は、y=(2/3)h
  （※逆三角形の場合はy=(1/3)h）
  

となります。(なお、y=0は断面の図心の位置です)

そして断面二次モーメントの値もまた、梁の断面形状によって決まる値です。

そこで、Zという文字を用意して、梁の断面形状によって決まるものをまとめると、以下の通りとなります。

$$Z=\frac{I}{y}$$

このZのことを、断面係数と呼びます。

よって、曲げ応力の計算式は、以下のとおりとなります。

ちなみに、断面係数Zは「梁の断面形状によって決まる値」といいましたが、代表例を挙げると以下の通りとなります。

その他、さまざまな断面形状については、以下のページに公式集・計算ツールを掲載しております。

曲げ応力の導出は、長い道のりですが、(4)式の丸暗記をするのではなく、その経緯まで知っておくと、実際のものに起こっている現象がイメージできて、応用を効かせることができます。

ちなみに、以下のページに計算ツールをご用意しているので、よろしければご活用ください。