曲げ応力の導出と計算式を解説【断面係数が必要】

今回は、曲げ応力の式の導出についてお話しします。

曲げ応力とはどのような応力のことかを知りたい方は、こちらの記事を参考にしてみてください

https://rivi-manufacturing.com/%E6%9B%B2%E3%81%92%E5%BF%9C%E5%8A%9B/

曲げ応力の計算式

まず、梁を曲げたときに生じる「ひずみ」を、「曲率」と「フックの法則」を使うことで、以下の式が導出されます。

$$\sigma = E \frac{y}{r} \cdots(1)$$

  • σ:応力
  • E:縦断面係数(ヤング率)
  • y:中立軸からの距離
  • r:曲率半径

この式の導出について、詳しくは以下の記事で解説しておりますので、よかったら参考にしてみてください。

https://rivi-manufacturing.com/%e6%9b%b2%e3%81%92%e8%8d%b7%e9%87%8d%e3%81%ab%e3%82%88%e3%82%8b%e3%81%b2%e3%81%9a%e3%81%bf%e6%96%b9%e3%81%af%e3%80%81%e4%b8%ad%e7%ab%8b%e9%9d%a2%e3%81%8b%e3%82%89%e3%81%ae%e8%b7%9d%e9%9b%a2%e3%81%ab/

続いて「曲率半径」を、「モーメント荷重」や「断面二次モーメント」を使うことによって、以下のように表すことができます。

$$\frac{1}{r}=\frac{M}{EI}\cdots(2)$$

  • r:曲率半径
  • M:曲げモーメント
  • E:縦断面係数(ヤング率)
  • I:断面二次モーメント

この式の導出について、詳しくは以下の記事で解説しておりますので、よかったら参考にしてみてください。

https://rivi-manufacturing.com/%e6%9b%b2%e3%81%92%e3%83%a2%e3%83%bc%e3%83%a1%e3%83%b3%e3%83%88%e3%81%8b%e3%82%89%e8%aa%ad%e3%81%bf%e8%a7%a3%e3%81%8f%e3%80%81%e6%9b%b2%e3%81%92%e5%bf%9c%e5%8a%9b%e3%81%ae%e6%b1%82%e3%82%81%e6%96%b9/

では、(2)式を(1)式に代入してみますと、以下のようになります。

$$\sigma = \frac{My}{I} \dots(3)$$

材料はσが最大のところが最も壊れやすいので、σが最大になる場所について考えます

σが最大になるのは梁の中立面(中立軸)から最も離れた位置、つまりyが最大の位置ですが、これは梁の断面形状によって異なります

例えば、

  • 梁の断面が高さがhの長方形の場合は、y=h/2
  • 直径がdの丸棒の場合は、y=d/2
  • 梁の高さがhである三角形の断面の場合は、y=(2/3)h
    (※逆三角形の場合はy=(1/3)h)

となります。(なお、y=0は断面の図心の位置です)

そして断面二次モーメントの値もまた、梁の断面形状によって決まる値です。

そこで、Zという文字を用意して、梁の断面形状によって決まるものをまとめると、以下の通りとなります。

$$Z=\frac{I}{y}$$

このZのことを、断面係数と呼びます。

よって、曲げ応力の計算式は、以下のとおりとなります。

$$\sigma = \frac{M}{Z} \dots(4)$$

ちなみに、断面係数Zは「梁の断面形状によって決まる値」といいましたが、代表例を挙げると以下の通りとなります。

その他、さまざまな断面形状については、以下のページに公式集・計算ツールを掲載しております。

https://rivi-manufacturing.com/%e6%96%ad%e9%9d%a2%e7%a9%8d%e3%83%bb%e6%96%ad%e9%9d%a2%e4%ba%8c%e6%ac%a1%e3%83%a2%e3%83%bc%e3%83%a1%e3%83%b3%e3%83%88%e3%83%bb%e6%96%ad%e9%9d%a2%e4%bf%82%e6%95%b0%e3%80%80%e5%85%ac%e5%bc%8f%e9%9b%86/

曲げ応力の導出は、長い道のりですが、(4)式の丸暗記をするのではなく、その経緯まで知っておくと、実際のものに起こっている現象がイメージできて、応用を効かせることができます

ちなみに、以下のページに計算ツールをご用意しているので、よろしければご活用ください。

https://rivi-manufacturing.com/%e6%a2%81%e3%81%ae%e6%9b%b2%e3%81%92%e3%83%a2%e3%83%bc%e3%83%a1%e3%83%b3%e3%83%88%e3%83%bb%e6%9b%b2%e3%81%92%e5%bf%9c%e5%8a%9b%e3%83%bb%e3%81%9f%e3%82%8f%e3%81%bf%e3%80%90%e5%85%ac%e5%bc%8f%e9%9b%86/
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